Ardern mengatakan penguncian masih menjadi respons terbaik dan sejauh ini masih bekerja,
Wilayah lainnya di Selandia Baru kembali ke pembatasan tingkat 2 yang sedikit lebih longgar.
Pembatasan ini akan berlangsung hingga Jumat.
Polisi memasang penghalang jalan untuk mencegah migrasi massal dari Auckland, sedangkan supermarket menjatah beberapa produk bahan pokok.
Baca: Seorang Pengusaha di AS Nekat Gunakan Dana Bantuan Covid-19 untuk Membeli Lamborghini
Antrean panjang muncul di pusat pengetesan Covid-19 di kota itu.
Ardern mengatakan kabinetnya akan memutuskan langkah selanjutnya pada Jumat mendatang.
Dua dari anggota keluarga tersebut sempat mengunjungi tempat wisata di Kota Roturua, sekitar tiga jam perjalanan ke selatan Auckland.
Keduanya memiliki gejala, dan yang ketiga sempat pergi bekerja di perusahaan keuangan di Auckland juga memiliki gejala.
Ada lebih dari 200 orang teridentifikasi berkontak dengan keluarga itu dan pejabat kesehatan bersiap mengetes puluhan ribu orang dalam beberapa hari mendatang.
Baca: Khawatir Monopoli oleh Negara Besar, WHO Minta Tidak Ada Nasionalisme Penemuan Vaksin Covid-19